martes, 24 de marzo de 2009

APLICACIONES A LAS FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS

En este archivo , se presenta una serie de problemas relacionados con el modelo lineal y cuadrático.

Un problema es toda situación con un objeto a lograr, que requiere para su solución una serie de acciones que obligan a interpretar contenidos, invirtiendo tiempo, esfuerzo, ingenio, intuición y creatividad

¿Cómo resolvemos un problema?
En el proceso de resolución de problemas, es posible establecer algunas pautas generales. Las que se presentan a continuación son una adaptación de las establecidas por George Polya en el libro Cómo plantear y resolver problemas. Se formulan también ciertas preguntas que ayudan a clarificar cada paso del proceso.

ü COMPRENDER EL PROBLEMA. Luego de leerlo y asegurarse que se ha comprendido, establecer las incógnitas, los datos, determinar las condiciones dadas y si es posible, realizar un gráfico en que se destaquen los datos y las incógnitas.
¡Qué está tratando de encontrar?¿Cuáles son los datos?¿Cuál es la condición? Esta,¿es suficiente para determinar la incógnita?
ü CONCEBIR UN PLAN. Determinar una relación entre la información dada y las incógnitas que permita, con los recursos disponibles, encontrar la solución del problema.
¿Ha resuelto alguna vez un problema parecido? ¿Qué estrategias podría utilizar para resolver el problema? ¿Cómo llevar a cabo las estrategias seleccionas? ¿Ha utilizado todos los datos? ¿Ha empleado la condición establecida?

ü EJECUTAR EL PLAN. Al poner en práctica su plan, comprobar cada uno de los pasos.
¿Son correctos los pasos utilizados?

ü EXAMINAR LA SOLUCIÓN OBTENIDA. ¿Cuál es la respuesta al problema?¿Puede verificar la solución obtenida? ¿Verifica el razonamiento?

ü ELABORAR CONCLUSIONES. La solución que se acepta o rechaza permite llegar a una conclusión, la que resuelve el problema y determina el comienzo de una nueva investigación.
¿Cuál es la respuesta del problema? ¿Es razonable la respuesta?

Problema
Una persona compró un televisor. Por pagarlo en cuotas le hicieron un recargo del 15% sobre el precio original. Si pagó en total $ 460,¿Cuál era el precio original del televisor?

COMPRENDER EL PROBLEMA. Identificación de la variable :lo que debemos averiguar el precio original del televisor , lo representamos con t .
Identificación de datos: el precio aumentó un 15% y se pagó en total ( precio original más recargo) $ 460.

CONCEBIR Y EJECUTAR EL PLAN. Podemos traducir al lenguaje simbólico el problema.

Precio original más 15% del precio original es el nuevo precio.

t + 0,15 t = 460

EXAMINAR LA SOLUCIÓN OBTENIDA Y SACAR CONCLUSIONES. Comprobando la solución obtenida en el enunciado del problema calculamos el 15% de 400 y resulta 60, cantidad que representa el recargo sobre el precio original en pesos: Al sumar los datos del problema, de modo que el precio original del televisor era $400.






Aplicaciones a las funciones lineales y a las funciones cuadráticas

1) Ecuación de demanda. Suponga que los clientes demandarán 40 unidades de un producto cuando el precio es de $ 12 por unidad y 25 unidades cuando el precio es de $ 18 cada una. Halle la ecuación de demanda, suponiendo que es lineal. Determine el precio por unidad cuando se requieren 30 unidades.

2) Ecuación de oferta. Un fabricante de electrodomésticos produce 3000 unidades cuando el precio es de $ 940 y 2200 unidades cuando el precio es $ 740. Suponga que el precio P, y la cantidad q producidas están relacionadas de manera lineal. Determine la ecuación de oferta.

3) Ecuación de costo. Suponga que el costo para producir 10 unidades de un producto es $ 40 y el costo para 20 unidades es $ 70. Si el costo c, está relacionado de manera lineal con la producción, q, determine el costo de producir 35 unidades.

4) Tarifas de electricidad. Una compañía de electricidad cobra a clientes residenciales 12.5 centavos por kilowatt-hora más un cargo base mensual. La factura mensual de un cliente viene con $ 51,65 por 380 kilowatt-hora. Determine una función lineal que describa el monto total por concepto de electricidad, si x es el número de kilowatt-hora utilizados en un mes.

5) Depreciación. Suponga que el valor de una pieza de maquinaria disminuye cada año en 10% de su valor original. Si el valor original es $8000, determine una ecuación que exprese el valor v de la maquinaria t años después de su compra, en donde 0 .Haga un bosquejo de la ecuación, seleccione t como el eje horizontal y v como el eje vertical. ¿ Cuál es la pendiente de la recta resultante? Este método de considerar el valor del equipo se denomina depreciación lineal.

6) Apreciación. Un nuevo edificio de apartamentos se vendió por $ 960000 cinco años después de que se compró. Los propietarios originales calcularon que el edificio se apreciaba $ 45000 por año, mientras ellos fuesen los propietarios. Determine una función lineal que describa la apreciación del edificio, si x es el número de años desde la compra original.

7) Chirrido de grillos. Los biólogos han encontrado que el número de chirridos por minuto hechos por los grillos de cierta especie están relacionados con la temperatura. La relación es casi lineal. Los grillos chirrían todo el verano a 68 º F, los chirridos de los grillos son 124 por minuto. A 80º F son alrededor de 172 por minuto.
Determine una ecuación que dé la temperatura Fahrenheit, t en términos del número
de chirridos, c por minuto


8) La función de demanda para el fabricante de un producto es p= F (q)= 120 -3 q, donde
p es el (precio en dólares) por unidad cuando se demanda q unidades (por semana).
Encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante y
determine este ingreso.




9) Ingreso. La función de demanda para la línea de Laptops de una compañía de electrónica es
P = 2400 – 6 q, en donde P es el precio (en dólares) por unidad cuando los consumidores demandan q unidades (semanales). Determine el nivel de producción que maximizará el ingreso del fabricante y determine este ingreso.

10) Utilidad. La utilidad diaria de la venta de árboles para el departamento de jardinería de un almacén está dada por , en donde x es el número de árboles vendidos. Determine el vértice y las intersecciones con los ejes de la función, y haga la gráfica de la función.

11) Arquería. Un muchacho que está parado en una colina, dispara una flecha directamente hacía arriba con una velocidad inicial de 80 pies por segundo. La altura h, de la flecha en pies, t segundos de que se soltó se describe por la función . ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la flecha? ¡ Cuántos segundos después de que se suelta, alcanza esta altura?

RESPUESTAS:

1) , $16

2)

3)

4)

5) V = -800 T + 8000 ; pendiente = -800

6) f( x) = 45000 x + 735000

7)

8) q = 200 ; r = $ 120000

9) 200 unidades ; ingreso máximo $ 240000

10) Vértice ( 9 , 225) ; intersección Y:( 0; 144) ; intersecciones X : (-6,0) ; ( 24; 0)

11) 132 pies ; 2,5 segundos

BIBLIOGRAFÍA;: matemática para administración y economía. Ernest Haeussler . Richard paul. Editorial : Pearson – Prentice Hall


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